矢圖

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數學中,一矢圖(en:quiver (mathematics)) 為一有向圖(其邊又曰「矢(arrow)」),可有廻圈或多重邊。此結構常見於表示論

矢圖之表示 V為一函子,圖中每頂點 x 賦一向量空間 V(x),每邊 a 賦一線性映射 V(a)。

路代數[]

K 為一域(或曰體)。設 Γ 為一矢圖。矢圖代數,或曰 路代數 KΓ 者,為K上一結合代數,定義如下:

  • KΓ為以矢圖中各路徑為基之向量空間;
  • 乘法為路徑接合;
  • 二首尾不應之徑之積為零。

KΓ 有單位元若且僅若其頂點集有限。然則KΓ模 與 Γ表示 等價。

設有一矢圖,其點與邊有限,每徑有相異之起終點。則KΓ 為K上一有限維遺傳代數( en:hereditary algebra) ,即 KΓ 上 投射模之子模 皆為投射模。

表示理論[]

設 Q 為一矢圖。其 當然表示 為一表示,每頂點 x 賦上零向量空間。

Q 之二表示間之態射 f:V->V' 乃 一組線性影射f(x):V(x)\rightarrow V'(x),使Q上每矢 x -->yV'(a)f(x)=f(y)V(a)。一同構 f 為一態射,其每頂點 x 相應之線性影射 f(x) 可逆。 是故,Q 之各表示成一範疇.

設V 、W為矢圖Q之二表示。則可定義其直和 V\oplus W: 每頂點 x: (V\oplus W)(x): =V(x)\oplus W(x)

一表示曰可解,若彼同構於二非零表示之直和。

加百列定理 (Gabriel's theorem)[]

一矢圖曰有限型(finite type)若彼僅有 有限互不同構之不可解表示。 加百列定理刻劃各有限型矢圖表示:

  1. 一矢圖為 有限型 若且僅若 其圖為一A、D或E型Dynkin 圖
  2. 其不可解表示 一一對應於其 Dynkin 圖相應之根系統之正根。

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