梅涅勞斯定理

注︰蓋當今之世，數學之事，誠難僅以文述，而無符號，故凡數學之文，咸有漢字、拉丁字相易之事。舉本文為例，甲（A）之示，即文句以甲代一物，算式以A代之，以合文言、數學，則無論文理之人，咸可明之也。

線截過三角形內

線截於三角形外

梅涅勞斯定理，簡稱梅氏定理或孟氏定理，幾何定理也，與塞瓦定理為對偶。以古希臘疇人梅涅勞斯（Menelaus）首證之。

定理曰：有三角形甲乙丙（ABC），一線分別截邊（或為引長其邊所得之線）乙丙、丙甲、甲乙於丁（D）、戊（E）、己（F）三點。則長乙丁除以長丁丙、長丙戊除以長戊甲、長甲己除以長己乙，三者之積為一。（$\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB}=1$）

或可簡曰：有一線截一三角形之三邊，則其分點比依序相乘為一。

證明

其證明有多法，聊舉一以示之。

連線甲丁、丙己。

由共邊定理可知，長乙丁比於長丁丙，等乎三角形乙丁己與丙丁己積之比；（$\frac{BD}{DC} =\frac{|\triangle BDF|}{|\triangle CDF|}$）

同理亦有：

長丙戊比於長戊甲，等乎三角形丙丁己與甲丁己積之比；（$\frac{CE}{EA} =\frac{|\triangle CDF|}{|\triangle ADF|}$）

長甲己比於長己乙，等乎三角形甲丁己與乙丁己積之比。（$\frac{AF}{FB} =\frac{|\triangle ADF|}{|\triangle BDF|}$）

三式相乘即得證。

逆定理

逆之而亦為定理：有三角形甲乙丙，其邊（或為引長其邊所得之線）乙丙、丙甲、甲乙上各有點丁、戊、己，且長乙丁除以長丁丙、長丙戊除以長戊甲、長甲己除以長己乙，三者之積為一；又於丁、戊、己三點中，或無，或恰有二者，在三角形邊之中。則丁、戊、己三點共線。

備考

塞瓦定理