梅涅勞斯定理

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。
線截過三角形內
線截於三角形外

梅涅勞斯定理,簡稱梅氏定理孟氏定理,幾何定理也,與塞瓦定理為對偶。以古希臘疇人梅涅勞斯(Menelaus)首證之。

定理曰:有三角形甲乙丙(ABC),一線分別截邊(或為引長其邊所得之線)乙丙、丙甲、甲乙於丁(D)、戊(E)、己(F)三點。則長乙丁除以長丁丙、長丙戊除以長戊甲、長甲己除以長己乙,三者之積為一。[一]\frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB}=1

或可簡曰:有一線截一三角形之三邊,則其分點比依序相乘為一[一]

證明[]

其證明有多法,聊舉一以示之。

連線甲丁、丙己。

共邊定理可知,長乙丁比於長丁丙,等乎三角形乙丁己與丙丁己積之比;(\frac{BD}{DC} =\frac{|\triangle BDF|}{|\triangle CDF|}

同理亦有:

長丙戊比於長戊甲,等乎三角形丙丁己與甲丁己積之比;(\frac{CE}{EA} =\frac{|\triangle CDF|}{|\triangle ADF|}
長甲己比於長己乙,等乎三角形甲丁己與乙丁己積之比。(\frac{AF}{FB} =\frac{|\triangle ADF|}{|\triangle BDF|}

三式相乘即得證。

逆定理[]

逆之而亦為定理:有三角形甲乙丙,其邊(或為引長其邊所得之線)乙丙、丙甲、甲乙上各有點丁、戊、己,且長乙丁除以長丁丙、長丙戊除以長戊甲、長甲己除以長己乙,三者之積為一[一];又於丁、戊、己三點中,或無,或恰有二者,在三角形邊之中。則丁、戊、己三點共線。

備考[]

塞瓦定理

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  1. 一點〇 一點一 一點二 或觀以有向線段,則亦可言:長甲丁除以長丁乙、長乙戊除以長戊丙、長丙己除以長己甲,三者之積為負一。