內積空間

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

內積空間,內積之所也。夫內積者,關乎也。凡二物所交之角,可由內積知之。

定義[]

內積空間者,可分複實。

實內積空間者,矢量空間也,凡二物之間必有一數,曰內積(「[x,y]」)[一]。凡內積者,必以下是從:

  • 物與己之內積,非負也。唯零者,零也。(「」)
  • 甲乙之內積,同乎乙甲之內積。(「」)
  • 甲乙和與丙之內積,同乎甲丙與乙丙內積之和矣(「」)。
  • 實數乘甲與丙之內積,同乎實數乘甲丙之內積矣(「」)。[二]

複內積空間者,矢量空間也,凡二物之間必有一數,曰內積(「[x,y]」)[三]。凡內積者,必以下是從:

  • 物與己之內積,非負也。零者,零也。(「」)
  • 甲乙之內積,同乎乙甲內積之軛也。(「」)
  • 甲乙和與丙之內積,同乎甲丙與乙丙內積之和矣(「」)。
  • 複數乘甲與丙之內積,同乎複數乘甲丙之內積矣(「」)。

複內積空間者,必為實內積空間也。

物與己內積開方,範也(「」)。故內積空間必範空間也。

二物之內積之實部,除以其範之積,求餘弦之逆,曰二物之夾角也(「」)。

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  • 歐基里得空間,高維實空間(「」)也。取二物,合各部之積,曰點積(「」)。
  • 高維複空間(「」),取二物,前者乘後者之軛,合之,曰點積(「」)。
  • 高維複空間,取點積之實部(「」),得一內積。此乃一實內積空間也。
  • 實數多項式之集,取二物,其積在零至一區間之積分(「」),內積也。

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  1. 集與己之直積映射實數,即
  2. 合後二者,曰內積線性於首項也。
  3. 集與己之直積映射複數,即