內積空間

文出維基大典
往:
註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

內積空間,內積之所也。夫內積者,關乎也。凡二物所交之角,可由內積知之。

定義[]

內積空間者,可分複實。

實內積空間者,矢量空間也,凡二物之間必有一數,曰內積(「[x,y]」)[一]。凡內積者,必以下是從:

  • 物與己之內積,非負也。唯零者,零也。(「[x,x] \ge 0, [x,x] = 0 \Leftrightarrow x = 0」)
  • 甲乙之內積,同乎乙甲之內積。(「[x,y] = [y,x]」)
  • 甲乙和與丙之內積,同乎甲丙與乙丙內積之和矣(「[x+y,z] = [x,z] + [y,z]」)。
  • 實數乘甲與丙之內積,同乎實數乘甲丙之內積矣(「[kx,z] = k[x,z]」)。[二]

複內積空間者,矢量空間也,凡二物之間必有一數,曰內積(「[x,y]」)[三]。凡內積者,必以下是從:

  • 物與己之內積,非負也。零者,零也。(「[x,x] \ge 0, [x,x] = 0 \Leftrightarrow x = 0」)
  • 甲乙之內積,同乎乙甲內積之軛也。(「[x,y] = \overline{[y,x]}」)
  • 甲乙和與丙之內積,同乎甲丙與乙丙內積之和矣(「[x+y,z] = [x,z] + [y,z]」)。
  • 複數乘甲與丙之內積,同乎複數乘甲丙之內積矣(「[kx,z] = k[x,z]」)。

複內積空間者,必為實內積空間也。

物與己內積開方,範也(「\|x\|=\sqrt{[x,x]}」)。故內積空間必範空間也。

二物之內積之實部,除以其範之積,求餘弦之逆,曰二物之夾角也(「\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\Re([x,y])}{\|x\|\|y\|}\right)」)。

[]

  • 歐基里得空間,高維實空間(「\mathbb{R}^n」)也。取二物,合各部之積,曰點積(「x \cdot y = x_1y_1+\cdots+x_ny_n」)。
  • 高維複空間(「\mathbb{C}^n」),取二物,前者乘後者之軛,合之,曰點積(「x \cdot y = x_1\bar{y_1}+\cdots+x_n\bar{y_n}」)。
  • 高維複空間,取點積之實部(「[x,y] = Re(x \cdot y)」),得一內積。此乃一實內積空間也。
  • 實數多項式之集,取二物,其積在零至一區間之積分(「[x(t),y(t)] = \int_0^1 x(t)y(t) dt」),內積也。

[]

  1. 集與己之直積映射實數,即[\cdot,\cdot]: M \times M \rightarrow \mathbb{R}
  2. 合後二者,曰內積線性於首項也。
  3. 集與己之直積映射複數,即[\cdot,\cdot]: M \times M \rightarrow \mathbb{C}