一元二次方程

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註︰蓋當今數學之事,誠難僅以文述,而無符號,故凡數學之文,咸有漢字、拉丁字相易之事,以合文言、數學,則無論文理之人,皆可明之也。

天元一而次數二之方程,是謂一元二次方程。其常者爲:ax^2+bx+c=0 \qquad \left(a \ne 0 \right)

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因式分解法[]

一元二次方程變爲ax^2+bx+c=0\,\!。若其可拆分作因式之積,可以因式分解之。

公式[]

方程如ax^2+bx+c=0 \qquad \left(a \ne 0 \right)者,其解爲:


x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a}.

亦作爲:


x_{1,2}=\frac{2c}{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\  }}.

證明[]

公式者,可以配方證之。[一]

一般[]

一元二次方程ax^2+bx+c=0 \left(a \ne 0 \right) \,\!者,\Delta=b^2-4ac \,\!乃其根之判式也。以判式,得解爲:

  • \Delta>0,则此方程含二不等實數根。若係數均有理數,且\Delta乃完全平方数,则二解均有理數,否则二解均實數
  • \Delta=0,则此方程含一實數根。為
x=-\frac{b}{2a}\,\!
  • \Delta<0,则此方程含二不等複數根。為
\begin{align}
 x &= \frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \\
 x &= \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {4ac - b^2}}{2a} \\
 i^2 &= -1
\end{align}

二次映射[]

方程ax^2+bx+c=0解之几何意,爲二次映射y=ax^2+bx+c之圖像與x轴交点之X坐标也。[二]

韋達定理[三][]

韋達定理,得一元二次方程解與係數之關係乃:

x_1+x_2=\frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a} + \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a} = \frac{-2b}{2a} = - \frac{b}{a} \,\!
x_1 \cdot x_2 = \frac{-b+ \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a} \cdot \frac{-b- \sqrt {b^2-4ac\  }}{2a} = \frac{b^2 - b^2 + 4ac}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}\,\!

应用[]

今人有用其分解因式者,化此方程为普式,求之双根,则方程之左化为两式之积。两式均为天元减其根,勿论正负。复乘二次之系数,即得。 以分解因式求根者逆之,毋赘。 aX*2+bX+c=a(X-X1)(X-X2)。X1,X2为aX*2+bX+c=0之双根。

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  1. 人教社九年級數學課本
  2. 人教社九年級數學課本
  3. 人教社九年級數學課本